今回は非正規形一階微分方程式とは何かについて、解説します。
微分方程式の入口とも言える非正規形一階微分方程式ですが、高校の頃の数学の延長の知識で解くことができます。
この記事では、「教科書の定義を読んでも、いまいちイメージが掴めないな」という方に向けて、大切なところに焦点を当てて、簡潔にわかりやすく解説していきます。
目次
まずは定義を確認しよう
教科書の定義では、
正規形y'=f(x,y)の形で表せない、一階常微分方程式を、非正規形一回微分方程式という
となっています。
これだけ言われても、少し気が引けてしまいますよね。
しかし、「正規系って？」「一階？」というようにパーツごとに分解して考えていくことで、少しずつ理解が自分のものになっていきます。
それでは、まず正規形が何かについて、次の段落で復習していきましょう！
正規形の微分方程式とは何か
x,yの微分方程式について考えます。
連続な変数xの関数y(x)について、n次の導関数をy^nとしたとき、
$$F(x,y,y',y'',・・・,y^n)=0$$
の形で表される等式を、微分方程式と言います。
例えば、
$$y''+y'+x=0$$
について考えると、
特に指定されていないxは連続ですし、y''とy'の項もあります。
ですから、この式は微分方程式ですね。
この時、yが何階微分であるかを、階数と呼びます。（例えばy'は一階、y''は2回）
そして、「階数が最大のy」について解ける形になっていたら、それは正規形であるといいます！
言い換えると、$$y^n=～$$の形にできる、という事です。
わかりにくいので、例を見ていきます。
まず、
$$y''+3y=x $$であれば、二階が最高階なので、これに着目し$$y''=x-3y$$
これは、「y''=の形」になっていますので、y''について解けている、つまり正規形と言えます。
次の例は、$$y''・y+y'+x=0$$を見てみましょう。
これは、最高階y''に着目して
$$y''=-\frac {x+y'}{y}$$
これは最高階のy''について解けたので、正規形です。
微分方程式が「階数が最大のy」について解ける形になっていたら、それは正規形であるといいます！
非正規形の微分方程式とは
改めて定義を思い出すと、
教科書の定義では、
正規形y'=f(x,y)の形で表せない、一回常微分方程式を、非正規形一回微分方程式という
いかがでしょうか。
先ほどよりも、意味がわかるようになったかと思います。
「正規形ではない微分方程式が、非正規形である」という事ですね。
すなわち、$$y^n=～$$の形で表せない微分方程式という事です。
例を挙げてみますね。
$$(y')^2=1-4y$$
この式は、例えばルートをとってみましょう。
すると「y'=±~」の形がでて、解けた気がします。
しかし、これは一つの解ではないですね。
このように一つの解に定まらない形は正規形といえず、非正規形と考えて良いのです。
もう一つ例を見てみましょう。
$$(y')^2+3xy'+4y=0$$
これもy'について、一つだけの解は求まりません。
ですから、非正規形ですね。
まとめ
①「階数が最大のy」について解ける形になっていたら、それは正規形である！
$$「y^n=～」の形にできる$$
②正規形でない微分方程式は、非正規形である！
いかがでいたでしょうか。
非正規形の微分方程式とは何か？といかれた時に、説明できるようになって頂けたかと思います。
ぜひ、こちらの問題を解いて、さらに理解を深めていきましょう。
