「定数変化法」一階常微分方程式を解いてみよう【大学数学の基礎】

今回は、一階常微分方程式の中で最も基礎と言える、定数変化法を扱っていきます。

大学数学を初め、高校数学とのギャップに困っている方も、この記事を読むことで、「高校数学の延長」として理解することができます。

この記事を読み、「定数変化法」をマスターしていきましょう。

一階線型微分方程式とは

まずは言葉の確認からしていきます。

一階線形微分方程式とは、次の形をとる、常微分方程式のことです。

ここで一つ注意したいのが、「この形は変数分離形ではない」ということです。

上記ページで詳しく解説させていただきましたが、変数分離形は

$$\frac{dy}{dx} = g(x)・h(y)$$

すなわち

$$\frac{1}{h(y)}d(y) = g(x)d(x)$$

と変形し、この形から両辺積分をする形でした。

しかし①の一階線形微分方程式は、この形にできません。

そこで、以下のような解き方が必要となるのです。

一階常微分方程式の解き方

おおまかな流れは、こちらです。

こうして求まる一般解は、

となります。

それでは、なぜこの一般解が求まるのかを順を追ってみていきましょう。

右辺を0とした、同伴方程式を解いてみる

まずは簡単のため、①でQ(x)=0としたものを解いてみましょう。

つまり、

$$ y' + P(x)y=0$$

を解いてみます。

ちなみにこの形は、同次方程式と言います。

それではこの同伴方程式

$$y' + P(x) y= 0・・・②$$

を解いてみます。

同伴方程式を見て気づくこと、それは

「①は変数分離形としては解けなかったが、②は変数分離形になっている！」

よって変数分離形の解き方を適用します。

\begin{eqnarray}
y' + P(x)y=&0 (ここで①よりy\neq 0)\\
y'=&-P(x)y\\
\frac{dy}{dx}=&-P(x)y\\
\int_{}^{}\frac {1}{y}dy =& -\int_{}^{}P(x)dx\\
log|y| =& -\int_{}^{}P(x)dx + C_1\\
|y| =& e^{-\int_{}^{}P(x)dx+ C_1}\\
y =& ± e^{C_1} ・e^{-\int_{}^{}P(x)dx }
\end{eqnarray}

ここで、簡単のために

$$ ±e^{C_1}=C_2(任意定数) $$と置きます。

すると②の一般解は

$$y = C_2・e^{ -\int_{}^{}P(x)dx }・・・③$$となりました！

これが、Q(x)=0と置いてみた時つまり同伴方程式の解となります。

非同次方程式を解いてみよう

②では、つまり一つ前の章では①でQ(x)=0として解きました。

その結果、

$$y = C_2・e^{ -\int_{}^{}P(x)dx }・・・③$$

を得ましたね。

ここでC2に注目してみましょう。

C2は任意定数、つまり任意に変わりうるということです。

ここで、C2がxによって任意に変わるとしたら？と考えることがミソです。

$$つまり、C_2がxについての関数、C_2=u(x)であったら、と考えてみます。$$

$$y = u(x)・e^{ -\int_{}^{}P(x)dx }・・・③'$$

これを元の式①に代入してみます。

③'を①に代入

$$\left\{ u(x)・e^{ -\int_{}^{}P(x)dx } \right\}' + P(x)・ u(x)・e^{ -\int_{}^{}P(x)dx } =Q(x)$$

$$ここで \left\{ u(x)・e^{ -\int_{}^{}P(x)dx } \right\}' =u'(x) ・e^{ -\int_{}^{}P(x)dx} +u(x) \left\{ e^{ -\int_{}^{}P(x)dx} \right\}' (積の微分) $$

$$= u'(x) ・e^{ -\int_{}^{}P(x)dx} + u(x)\left\{ -\int_{}^{}P(x)dx \right\}'・ e^{ -\int_{}^{}P(x)dx } （合成関数の微分）$$

$$= u'(x) ・e^{ -\int_{}^{}P(x)dx} - u(x) P(x)・e^{ -\int_{}^{}P(x)dx } $$

より、

$$ u'(x) ・e^{ -\int_{}^{}P(x)dx} - u(x) P(x)・e^{ -\int_{}^{}P(x)dx } + P(x)・ u(x)・e^{ -\int_{}^{}P(x)dx } =Q(x) $$

左辺の後ろ2つの項が打ち消しあって、結局

\begin{eqnarray}
u'(x) ・e^{ -\int_{}^{}P(x)dx} =& Q(x)\\
\frac {du}{dx}(x)=&Q(x) e^{ \int_{}^{}P(x)dx}
\end{eqnarray}

よって、両辺積分すれば

$$ u(x)= \int_{}^{} Q(x) e^{ \int_{}^{}P(x)dx} +C $$

u(x)が求まった！のでこれを③'に代入して

$$y = e^{ -\int_{}^{}P(x)dx } \left\{ \int_{}^{} Q(x) e^{ \int_{}^{}P(x)dx} +C \right\}$$

これが一般解です。

同伴方程式をとき、でた解の定数部を変化させ、代入することで一般解がもとまりました。

一階線形微分方程式の解き方【まとめ】

以上の流れとしては

1.同伴方程式（y'+P(x)y = 0）を解いてみると、変数分離形で解ける

2. 1において、定数が変化したらどうなる？という発想をする

3.定数をC=u(x)とおいてxの関数に置き換え、これを非同次方程式に代入してu(x)を求める

4.もとめたu(x)をもとの式に代入して、これを解けば一般解が求まる

となります。

以上、これを公式にすると

お疲れ様でした！